7. Normatywność logiki. Zwrócę uwagę na jeszcze jeden aspekt uniwersalności, tym razem związany z normatywnością logiki, a także ze wspomnianym już odróżnieniem logica utens (przepisów inferencyjnych) i logica docens (twierdzeń), oznaczanych dalej odpowiednio jako LOG^R i LOG^T. Załóżmy, że R = <{A₁, …, A_n}, A> jest regułą inferencyjną o przesłankach A₁, …, A_n i konkluzją . (C6), czyli twierdzenie o dedukcji uzasadnia

(4) <{A₁, …, A_n}, A> Î LOG^R   wtw  (A₁ ® (…® (A_n ® A)…) Î LOG^T.

Zależność ta ustala parytet logiczny LOG^T i LOG^R, aczkolwiek z pragmatycznego punktu widzenia ta druga jest wyróżniona. Aksjomatyczny system logiki oparty jest na aksjomatach i regułach, chyba że uzna się wszystkie twierdzenia (jest ich nieskończenie wiele) za aksjomaty. Z drugiej strony, można zadać logikę wyłącznie przez reguły (dedukcja naturalna, sekwenty). Wszelako twierdzenia logiki grają w tym mechanizmie rolę istotną. Chcemy, by reguły logiki były niezawodne, tj. nie prowadziły od prawdy do fałszu (por. komentarz do (TP)). Jest tak w zachodzeniu (4). Rozważmy przykład najprostszy, tj. reguły <A, B>. Jeśli jest to reguła logiki, to formuła (A ® B) Î CnÆ, a przez (TP) jest prawdziwa w każdym modelu. Jeśli jest uniwersalnie prawdziwa, to nie ma takiego modelu M, w którym A jest prawdą, a B fałszem. Reguła <A, B> jest więc niezawodna. Związek parytetu logica utens i logica docens z uniwersalnością LOG jest więc oczywisty, a definicje (D1) – (D4) mogą być stosowane do obu.

Normatywność logiki jest tradycyjnie pojmowana jako jej właściwość w zdobywaniu wiedzy. Przestrzeganie logiki jest więc traktowane jako stosowanie się do powinności epistemicznej. Inaczej to ujmując, logika mówi nam, jak mamy myśleć, by osiągnąć prawdę. Tego rodzaju oświadczenia nie dają się eksplikować formalnie, ale (D4) i (4) prowadzą do pewnego ciekawego wniosku w sprawie normatywności logiki. Skoro logika nie faworyzuje żadnego możliwego świata (modelu), można powiedzieć, że, z logicznego punktu widzenia, każdy możliwy świat jest osiągalny (dostępny) z dowolnego innego. Standardowe rozumienie zdania OA (A jest obowiązkowe) polega na tym, że jest ono prawdziwe w naszym świecie M*, o ile A jest prawdą w każdym możliwym świecie M dostępnym ze świata M*. Tedy, jeśli A jest tautologią, a więc jest prawdą w każdym świecie, także w M*, O1 (symbol 1 oznacza dowolną tautologię) jest prawdziwe w M* (i każdym innym świecie). Tautologie konstytuują więc logiczną powinność. Ponieważ rozważana relacja dostępności jest zwrotna (każdy świat jest dostępny sam z siebie), O1 implikuje 1. Zachodzi także zależność odwrotna, tj. 1 pociąga O1. Znaczy to, “jest” i “powinno być” są nieodróżnialne w sferze logiki. Fakt ten może być interpretowany jako wyjątek w stosunku do sławnej tezy Hume’a, że byt i powinność są logicznie separowalne. Można zasadnie przypuszczać, że jest to jedyny wyjątek wobec tezy Hume’a, najwyraźniej związany z tym, że logika jest uniwersalna.

8. Komentarze do metalogicznej definicji logiki: problem logik alternatywnych. Definicja LOG prowadzi do równości LOG = LE. Dwie kwestie wymagają omówienia w tym kontekście. Pierwsze dotyczy tzw. logik alternatywnych, np. intuicjonistycznej czy wielowartościowej itd. Operacja Cn jest tak zdefiniowana, że jest sprzężona z logiką klasyczną. Można oczywiście tak zmodyfikować aksjomaty (C6) – (C13), aby otrzymać np. konsekwencję intuicjonistyczną. Wystarczy w tym celu odpowiednio zmienić rozumienie negacji przez wprowadzenie (w miejsce (C8) – (C9)) postulatu:

(*) Cn(X È {A}) Í CnX ® Cn(X   È {ØA} = L.

Pojawia się od razu problem, co wybrać jako logikę uniwersalną, klasyczną czy intuicjonistyczną, czy też zdecydować się na swoisty pluralizm: zawsze jest potrzebna jakaś logika, ale wybór zależy od konkretnej sytuacji. Ponieważ nie mogę tutaj wchodzić w tę kwestię, przyjmę rozwiązanie najprostsze polegające na akceptacji logiki klasycznej jako uniwersalnej, aczkolwiek w pewnych szczególnych sytuacjach można posługiwać się innym systemem, np. intuicjonistycznym, gdy analizujemy konstruktywne dowody w matematyce. Sytuacja jest jasna, gdy mamy do czynienia z podsystemami logiki klasycznej, bo wtedy logiki można porównywać z klasycznego punktu widzenia, a staje się znacznie bardziej skomplikowana, gdy w grę wchodzi logika parakonsystentna.

9. Komentarze do metalogicznej definicji logiki: teza pierwszego rzędu. Kwestia druga wiąże się z tzw. tezą pierwszego rzędu, tj. identyfikującą logikę z LE (por. w tej sprawie artykuły w antologii Woleński 1997 oraz Woleński 2004; ta pierwsza pozycja zawiera szereg innych prac ważnych z punktu widzenia tematu niniejszego artykułu). Przeciwko tezie tej jako determinancie logiki wysuwa się zarzut, że skoro logika ma dostarczać narzędzi do analizy i definiowania rozmaitych pojęć (ta funkcja logiki jest podkreślona w Grzegorczyk 1973), to musi posiadać dużą siłę wyrazu (moc ekspresywną), co zależy od zasobu środków umożliwiających analizę i definiowanie, aczkolwiek, co oczywiste, nie jest to właściwość mierzalna. Logika pierwszego rzędu nie odgrywa większej roli w tym przedsięwzięciu, gdyż logika elementarna jest za słabym systemem, bo ma niewielką siłę wyrazu. W samej rzeczy, LE umożliwia zdefiniowanie bardzo prostych rzeczy, np. wspomnianych kwantyfikatorów ilościowych, ale zawodzi np. w przypadku możliwości zdefiniowania pojęcia zbioru skończonego. Z tego właśnie powodu, proponuje się logiki wyższych rzędów (LWR), drugiego, trzeciego itd. (różnica pomiędzy LE a LWR polega na tym, że, o ile kwantyfikatory w logice elementarnej wiążą tylko zmienne indywiduowe, to w logikach wyższych rzędów operują także na zmiennych predykatowych), w których można określać bardziej skomplikowane pojęcia w szczególności matematyczne. Są one często określane jako logiki teorio-modelowe (logiki abstrakcyjne, rozszerzone teorie modeli; zob. omówienie w antologii Barwise, Feferman 1985). Łatwo teraz zauważyć, że wiąże się to z uniwersalnością w rozumieniu punktu (B), aczkolwiek stopniowalną (jeszcze raz zauważam, że nie w sensie ilościowym). Jasne, że tautologiczność w sensie (D4) nie ma tutaj większego znaczenia, a nawet stanowi ewidentną przeszkodę, skoro zdania tautologiczne są treściowo puste czy bardzo ubogie, by nie przesądzać tej skądinąd spornej kwestii.

10. Logika jako narzędzie definiowania pojęć. Uniwersalność w sensie (B) wiąże się z rozumieniem logiki jako characteristica universalis, a nie jako calculus ratiocinator. Rozmaite projekty tzw. wielkich logik (logica magna; Frege, Russell, Leśniewski) były projektowane jako silne pod względem wyrazu systemy, w których można zawrzeć całą naukę, a przynajmniej matematykę. Intuicja związana z logiką jako characteristica universalis jest taka oto:

“[…] logika składa się z kolekcji struktur matematycznych, kolekcji wyrażeń formalnych oraz relacji spełniania wiążącej wyrażenia ze strukturami […]. Można powiedzieć, że logikę się konstruuje dla badania logiki jakiejś części matematyki” (Barwise 1985, pp. 4-5).

Wedle tego poglądu logika dostarcza środków dla możliwych opisów struktur matematycznych. Oczywiście jest tak, że dobra logika musi mieć dużą siłę wyrazu, aby dało się w niej zawrzeć tak wiele treści, jak to jest możliwe. Formalnie rzecz biorąc logika wedle tego rozumienia jest parą <L,╞>, gdzie symbol╞ oznacza relację spełniania (por. Westerståhl 1976, s. 16). Ważne są tutaj nie tyle inferencje, ale zbiory zdań prawdziwych w zadanych modelach, zdań wyrażonych w stosownie bogatych językach. Modyfikacja pojęcia logiki stanie się jaśniejsza, gdy uzmysłowimy sobie, że logika jest niejako wbudowana w język via relacja╞. Można też rozważyć parę <L, ├>. Jeżeli pary <L,╞> i <L, ├> wzajemnie koincydują, logika jest pełna, ale nie jest to w żadnym sensie związane z uniwersalnością. Co więcej, bogate logiki w tym nowym sensie, w szczególności, LWR są niepełne, tj. mają prawdy, które nie dają się w nich udowodnić. To wystarcza do okazania, że uniwersalność w sensie (B) nie koresponduje z pozostałymi. Podobne uwagi stosują się do modalnych rozszerzeń LE, tj. systemów formalizujących modalności aletyczne (konieczność, możliwość), deontyczne (obowiązek, zezwolenie), epistemicznych (wiedza) itd. Pojęcia modalne są istotne dla filozofii, ale niedefiniowalne w LE. Można zatem przypuszczać, że ich uniwersalność w sensie (B) nie koresponduje z pozostałymi rozumieniami tej własności. Tak też jest istotnie. Siła wyrazu logiki modalnej zależy od własności relacji dostępności (zob. Świrydowicz 2004). Wyżej rozważałem przypadek powinności logicznej jako wyjątek od tezy Hume’a. Zachodzi ona (w postaci, że OA nie implikuje A) zawsze, gdy relacja ta nie jest zwrotna. Jasne jest teraz, że dana logika modalna może być pełna nie w klasie wszystkich modeli, ale tylko tych, które spełniają korespondujące warunki nałożone na relację dostępności. W tym sensie nie są uniwersalne, jeśli przez to rozumieć prawdziwość w każdym modelu. Ta przysługuje tylko twierdzeniom LE.

11. Jeszcze raz o definicji logiki. Jak więc definiować logikę? Wydaje się żadna definicja nie może zadośćuczynić uniwersalności we wszystkich sensach i podwójnej funkcji logiki, tj. jako generatora poprawnych inferencji i narzędzia analizy pojęć. Rozważmy

(*) LOG’ = <L,├,╞>

jako zebranie rozmaitych intuicji w jeden schemat. Dla zachowania uniwersalności w sensie (A), (C) i (D) potrzeba zachodzenia (TP), tj. koincydencji relacji├ i╞. Wprawdzie (TP) trzeba przeformułować do postaci ( znak M^X oznacza model zbioru X; X Í L)

(TP’) A Î CnX wtw dla każdego modelu M^X, A jest prawdą w M^X (równoważnie:
X ├ A wtw M^X╞ A),

ale jeśli X = Æ, wracamy do czystej LE, a jeśli X ¹ Æ, to uniwersalność LOG’ jest obcięta do konsekwencji zbioru X i klasy jego modeli, aczkolwiek sam aparat dedukcyjny logiki określonej przez (*) pokrywa się z LE; trzeba jednak zauważyć, że przy LOG = CnÆ, reguły logiki zachowują tautologiczność, natomiast przy posłużeniu się relacją X ├ A, tylko prawdziwość, o ile X ¹ Æ. Każda teoria elementarna (pierwszego rzędu) jest pełna w sensie (TP’), co znacznie ogranicza jej siłę wyrazu, a to prowadzi do niewielkiej wydajności jako narzędzia analizy pojęć. Natomiast jeśli nie wymagamy, by (TP’) zachodziło, pełna koincydencja relacji ├ i╞ nie ma miejsca, sprawność analityczna logiki wzrasta, ale ograniczona zostaje jej uniwersalność w sensie (A), (C) i (D). W przypadku logik modalnych, rzeczona koincydencja jest okupiona wprowadzeniem pozalogicznych warunków względem relacji dostępności. W gruncie rzeczy, schemat (*) bez (TP’) i tak rozwarstwia się na <L, ├> i <L,╞>.Tak jest np. w LWR, gdzie (TP’) zachodzi, ale za cenę stratyfikacji modeli na pewne grupy, np. na wyróżnieniu tzw. modeli ogólnych, ale w oparciu o kryteria pozalogiczne.

12. Konkluzje i uwagi końcowe. Nie ma jednak żadnego powodu do dramatyzowania z powodu tej sytuacji. Jest w końcu sprawą konwencji, uzależnionej od takich czy innych, intuicji, jak logika powinna być zdefiniowana. Można np. zastanawiać się, czy nie ograniczyć się do LE bez identyczności lub nawet pojęć, że logiką w sensie właściwym jest wyłącznie rachunek zdań z uwagi na jego bardzo silne własności jak Post-zupełność i rozstrzygalność. Przy każdym rozumieniu logiki (oczywiście „każdym” musi brać pod uwagę tradycję), tworzą ją systemy formalne budowane wedle pewnego wzorca, tj. z wyraźnie wyspecyfikowanym językiem, aksjomatami i regułami inferencji. Tylko LE jest wyposażona w kompletny katalog niezawodnych reguł wnioskowania, natomiast LWR tego nie gwarantuje w całej rozciągłości. Niemniej jednak, żadna logika, nawet LE, nie zapewnia jednoznacznych kryteriów poprawności analizy pojęciowej. Matematycy mają w tym względzie pewną ustaloną tradycję, która sprawia, że różnice w sposobach analizy są stosunkowo niewielkie, a pozamatematyczne dewiacje odrzucane. Niemniej jednak, i tutaj pojawiają się różnice w rezultatach. Klasycznymi i wielkimi przykładami analiz pojęciowych w matematyce są Fregego konstrukcja liczb naturalnych, Hilberta rozumienie dowodu matematycznego czy eksplikacja intuicyjnego pojęcia obliczalności przy pomocy maszynerii teorii funkcji rekurencyjnych, ale ich akceptacja zależy od ogólnego punktu widzenia, np. konstruktywiści uważają, że pojęcie liczby naturalnej jest pierwotne. Sytuacja w filozofii jest znacznie bardziej skomplikowana, ponieważ nie ma w niej jednomyślności w sprawie sensu pojęć i sposobu ich eksplikacji, a także ma miejsce duży udział intuicji wykładanych hermeneutycznie jest znaczny. Logika na pewno dostarcza każdemu skutecznych sposobów inferencji dedukcyjnej, ale trudno zgodzić się z Quinem, że logika jako <L,╞> obsługuje wszystkich jednakowo. Niemniej jednak, na obronę analizy filozoficznej środkami formalnymi (one kształtują to, co obecnie nazywa się logiką filozoficzną) można powiedzieć, że jeśli już uznało się, że jakiś dobrze określony system logiki został obrany jako wystarczająco silny ekspresywnie, to przynajmniej w jego ramach można racjonalnie spierać się w kwestiach merytorycznych. Dotyczy to np. analizy poznania potocznego czy nawet naukowego, które użytkuje argumentacje niemonotoniczne, tj. takie, w których dodanie nowych przesłanek nie gwarantuje zachowania wcześniej uzyskanych wniosków. Nawet jeśli przeciwnik analizy logicznej oświadczy, że nic nie zastępuje wglądu w istotę rzeczy, zwłaszcza transcendentalnego, można na to odpowiedzieć, że w filozofii nigdy za dużo okazywania, co z czego wynika w najzwyczajniejszym sensie dedukcyjnym.

            Barwise J. 1985, “Model-Theoretic Logics: Background and Aims”, w: Barwise, Feferman 1985, s. 3-23.

            Barwise J. , Feferman S. eds. 1985, Model-Theoretic Logics, Springer, Berlin.

            Borkowski L. 1969, Logika formalna. Systemy logiczne. Wstęp do metalogiki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

            Borkowski L. 1981, “Charakterystyka kwantyfikatorów w aksjomatycznej teorii konsekwencji”, Roczniki Filozoficzne 29(1), s. 5-7; przedruk, w: L. Borkowski, Studia Logiczne. Wybór, Towarzystwo Naukowe KUL, Lublin 1990, s. 466-468.

            Church A. 1956, Introduction to Mathematical Logic, Princeton, Princeton University Press.

            Ebbesen S. 1980, “Logica docens/logica utens”, w: Ritter, Gründer 1980, s. 353-355.

            Enderton H. 1972, A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, New York.

            Gödel K. 1944, “Russell’s Mathematical Logic”, w: The Philosophy of Bertrand Russell, ed. By P. Schillpp, Open Court, La Salle, s. 125-153.

            Grzegorczyk A. 1973, Zarys logiki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

            Hilbert D., Ackermann W. 1928, Grundzüge der mathematischen Logik, Verlag von Julius Springer, Berlin.

            Hinman P. G. 2005, Fundamentals of Mathematical Logic, A. K. Peters, Wellesley, Massachussetts.

            Kneebone G. T. 1963, Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics, Van Nostrand, London.

            Mendelson E. 1964, Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand, New York.

            Pogorzelski W. 1992, Elementarny słownik logiki formalnej, Uniwersytet Warszawski – Filia w Białymstoku, Białystok.

            Mostowski A. 1948, Logika matematyczna. Kurs Uniwersytecki, Monografie Matematyczne, Warszawa-Wrocław.

            Quine W. v. O. 1970, Philosophy of Logic, Prentice Hall, Englewood Clifts; tłum. polskie (H. Mortiner), Filozofia logiki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

            Risse W. 1980, “Logik”, in Ritter and Gründer 1980, s. 357-362.

            Ritter J. and Gründer K. eds. 1980, Historischer Wörterbuch der Philosophie, v. 5, Schwabe, Basel.

            Rosser J. B. 1953, Logic for Mathematicians, McGraw Hill, New York.
Russell B. 1903, The Principles of Mathematics, Georg Allen and Unwin, London.

            Ryle G. 1954 “Formal and Informal Logic”, in Dillemmas, Cambridge University Press, Cambridge, s. 111-129; tłum. polskie (A. Sierszulska), “Logika formalna i nieformalna”, w Woleński 1997, s. 79-95.

            Surma S. J. 1981, “The Growth of Logic out of the Foundational Research in the Foundations of Mathematics”, in Modern Logic, ed. by E. Agazzi, Reidel, Dordrecht 1981, s. 15-33.

            Świrydowicz K. 2004, Podstawy logiki modalnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.

            Tarski A. 1930, “Über einige fundamentale Begriffe der Metamathematik”, Comptes Rendus des séances de la Société des Sciences et de Lettres de Varsovie 23, s. 22-39 ; tłum. polskie (J. Zygmunt), “Podstawowe pojęcia metodologii nauk dedukcyjnych », w : A. Tarski, Pisma logiczno-filozoficzne, t. 2 : Metalogika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001, s. 31-92.

            Tarski A. 1941, Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Clarendon Press, Oxford; tłum. Polskie (M. Sujczyńska), Wprowadzenie do logiki i do metodologii nauk dedukcyjnych, Philomath, Białystok 1994.

            Van Heijenoort J. 1985, “Logic as Calculus and Logic as Language”, in J. Van Heijenoort, Selected essays, Bibliopolis 1985, p. 11-16; tłum. polskie (C. Cieśliński), “Język jako rachunek i logika jako język”, w: Woleński 1997, s. 71-79.

            Westerståhl D. 1976, Some Philosophical Aspects of Abstract Model Theory, Institutionen för Filosofi, Göteborgs Universitet, Göteborg.

            Woleński J. (red.) 1997, Filozofia logiki, Wydawnictwo SPACJA – Fundacja Aletheia, Warszawa.

            Woleński J. 2004, “First-Order Logic: (Philosophical) Pro and Contra”, w: V. Hendricks, F. Neuhaus, S. A. Pedersen, U. Scheffler and H. Wansing (eds.), Firsr-Order Logic Revisited, logos, Berlin, s. 369-398.