POLSKI    ENGLISH   

Internetowy Serwis Filozoficzny

przy┬áInstytucie Filozofii    Uniwersytetu Jagiello┼äskiego

|  Forum |  Literatura |  Linki |  Aktualno┼Ťci
 


 

Jan Wole┼äski - CZYM JEST LOGIKA? cz─Ö┼Ť─ç 2.







7. Normatywno┼Ť─ç logiki. Zwr├│c─Ö uwag─Ö na jeszcze jeden aspekt uniwersalno┼Ťci, tym razem zwi─ůzany z normatywno┼Ťci─ů logiki, a tak┼╝e ze wspomnianym ju┼╝ odr├│┼╝nieniem logica utens (przepis├│w inferencyjnych) i logica docens (twierdze┼ä), oznaczanych dalej odpowiednio jako LOGR i LOGT. Za┼é├│┼╝my, ┼╝e R = <{A1, …, An}, A> jest regu┼é─ů inferencyjn─ů o przes┼éankach A1, …, An i konkluzj─ů . (C6), czyli twierdzenie o dedukcji uzasadnia

(4) <{A1, …, An}, A> ├Ä LOGR ┬á┬áwtw┬á (A1 ® (…® (An ® A)…) ├Ä LOGT.

Zale┼╝no┼Ť─ç ta ustala parytet logiczny LOGT i LOGR, aczkolwiek z pragmatycznego punktu widzenia ta druga jest wyr├│┼╝niona. Aksjomatyczny system logiki oparty jest na aksjomatach i regu┼éach, chyba ┼╝e uzna si─Ö wszystkie twierdzenia (jest ich niesko┼äczenie wiele) za aksjomaty. Z drugiej strony, mo┼╝na zada─ç logik─Ö wy┼é─ůcznie przez regu┼éy (dedukcja naturalna, sekwenty). Wszelako twierdzenia logiki graj─ů w tym mechanizmie rol─Ö istotn─ů. Chcemy, by regu┼éy logiki by┼éy niezawodne, tj. nie prowadzi┼éy od prawdy do fa┼észu (por. komentarz do (TP)). Jest tak w zachodzeniu (4). Rozwa┼╝my przyk┼éad najprostszy, tj. regu┼éy <A, B>. Je┼Ťli jest to regu┼éa logiki, to formu┼éa (A ® B) ├Ä CnÆ, a przez (TP) jest prawdziwa w ka┼╝dym modelu. Je┼Ťli jest uniwersalnie prawdziwa, to nie ma takiego modelu M, w kt├│rym A jest prawd─ů, a B fa┼észem. Regu┼éa <A, B> jest wi─Öc niezawodna. Zwi─ůzek parytetu logica utens i logica docens z uniwersalno┼Ťci─ů LOG jest wi─Öc oczywisty, a definicje (D1) – (D4) mog─ů by─ç stosowane do obu.

Normatywno┼Ť─ç logiki jest tradycyjnie pojmowana jako jej w┼éa┼Ťciwo┼Ť─ç w zdobywaniu wiedzy. Przestrzeganie logiki jest wi─Öc traktowane jako stosowanie si─Ö do powinno┼Ťci epistemicznej. Inaczej to ujmuj─ůc, logika m├│wi nam, jak mamy my┼Ťle─ç, by osi─ůgn─ů─ç prawd─Ö. Tego rodzaju o┼Ťwiadczenia nie daj─ů si─Ö eksplikowa─ç formalnie, ale (D4) i (4) prowadz─ů do pewnego ciekawego wniosku w sprawie normatywno┼Ťci logiki. Skoro logika nie faworyzuje ┼╝adnego mo┼╝liwego ┼Ťwiata (modelu), mo┼╝na powiedzie─ç, ┼╝e, z logicznego punktu widzenia, ka┼╝dy mo┼╝liwy ┼Ťwiat jest osi─ůgalny (dost─Öpny) z dowolnego innego. Standardowe rozumienie zdania OA (A jest obowi─ůzkowe) polega na tym, ┼╝e jest ono prawdziwe w naszym ┼Ťwiecie M*, o ile A jest prawd─ů w ka┼╝dym mo┼╝liwym ┼Ťwiecie M dost─Öpnym ze ┼Ťwiata M*. Tedy, je┼Ťli A jest tautologi─ů, a wi─Öc jest prawd─ů w ka┼╝dym ┼Ťwiecie, tak┼╝e w M*, O1 (symbol 1 oznacza dowoln─ů tautologi─Ö) jest prawdziwe w M* (i ka┼╝dym innym ┼Ťwiecie). Tautologie konstytuuj─ů wi─Öc logiczn─ů powinno┼Ť─ç. Poniewa┼╝ rozwa┼╝ana relacja dost─Öpno┼Ťci jest zwrotna (ka┼╝dy ┼Ťwiat jest dost─Öpny sam z siebie), O1 implikuje 1. Zachodzi tak┼╝e zale┼╝no┼Ť─ç odwrotna, tj. 1 poci─ůga O1. Znaczy to, “jest” i “powinno by─ç” s─ů nieodr├│┼╝nialne w sferze logiki. Fakt ten mo┼╝e by─ç interpretowany jako wyj─ůtek w stosunku do s┼éawnej tezy Hume’a, ┼╝e byt i powinno┼Ť─ç s─ů logicznie separowalne. Mo┼╝na zasadnie przypuszcza─ç, ┼╝e jest to jedyny wyj─ůtek wobec tezy Hume’a, najwyra┼║niej zwi─ůzany z tym, ┼╝e logika jest uniwersalna.

8. Komentarze do metalogicznej definicji logiki: problem logik alternatywnych. Definicja LOG prowadzi do r├│wno┼Ťci LOG = LE. Dwie kwestie wymagaj─ů om├│wienia w tym kontek┼Ťcie. Pierwsze dotyczy tzw. logik alternatywnych, np. intuicjonistycznej czy wielowarto┼Ťciowej itd. Operacja Cn jest tak zdefiniowana, ┼╝e jest sprz─Ö┼╝ona z logik─ů klasyczn─ů. Mo┼╝na oczywi┼Ťcie tak zmodyfikowa─ç aksjomaty (C6) – (C13), aby otrzyma─ç np. konsekwencj─Ö intuicjonistyczn─ů. Wystarczy w tym celu odpowiednio zmieni─ç rozumienie negacji przez wprowadzenie (w miejsce (C8) – (C9)) postulatu:

(*) Cn(X È {A}) ├Ź CnX ® Cn(X ┬á┬áÈ {ØA} = L.

Pojawia si─Ö od razu problem, co wybra─ç jako logik─Ö uniwersaln─ů, klasyczn─ů czy intuicjonistyczn─ů, czy te┼╝ zdecydowa─ç si─Ö na swoisty pluralizm: zawsze jest potrzebna jaka┼Ť logika, ale wyb├│r zale┼╝y od konkretnej sytuacji. Poniewa┼╝ nie mog─Ö tutaj wchodzi─ç w t─Ö kwesti─Ö, przyjm─Ö rozwi─ůzanie najprostsze polegaj─ůce na akceptacji logiki klasycznej jako uniwersalnej, aczkolwiek w pewnych szczeg├│lnych sytuacjach mo┼╝na pos┼éugiwa─ç si─Ö innym systemem, np. intuicjonistycznym, gdy analizujemy konstruktywne dowody w matematyce. Sytuacja jest jasna, gdy mamy do czynienia z podsystemami logiki klasycznej, bo wtedy logiki mo┼╝na por├│wnywa─ç z klasycznego punktu widzenia, a staje si─Ö znacznie bardziej skomplikowana, gdy w gr─Ö wchodzi logika parakonsystentna.

9. Komentarze do metalogicznej definicji logiki: teza pierwszego rz─Ödu. Kwestia druga wi─ů┼╝e si─Ö z tzw. tez─ů pierwszego rz─Ödu, tj. identyfikuj─ůc─ů logik─Ö z LE (por. w tej sprawie artyku┼éy w antologii Wole┼äski 1997 oraz Wole┼äski 2004; ta pierwsza pozycja zawiera szereg innych prac wa┼╝nych z punktu widzenia tematu niniejszego artyku┼éu). Przeciwko tezie tej jako determinancie logiki wysuwa si─Ö zarzut, ┼╝e skoro logika ma dostarcza─ç narz─Ödzi do analizy i definiowania rozmaitych poj─Ö─ç (ta funkcja logiki jest podkre┼Ťlona w Grzegorczyk 1973), to musi posiada─ç du┼╝─ů si┼é─Ö wyrazu (moc ekspresywn─ů), co zale┼╝y od zasobu ┼Ťrodk├│w umo┼╝liwiaj─ůcych analiz─Ö i definiowanie, aczkolwiek, co oczywiste, nie jest to w┼éa┼Ťciwo┼Ť─ç mierzalna. Logika pierwszego rz─Ödu nie odgrywa wi─Ökszej roli w tym przedsi─Öwzi─Öciu, gdy┼╝ logika elementarna jest za s┼éabym systemem, bo ma niewielk─ů si┼é─Ö wyrazu. W samej rzeczy, LE umo┼╝liwia zdefiniowanie bardzo prostych rzeczy, np. wspomnianych kwantyfikator├│w ilo┼Ťciowych, ale zawodzi np. w przypadku mo┼╝liwo┼Ťci zdefiniowania poj─Öcia zbioru sko┼äczonego. Z tego w┼éa┼Ťnie powodu, proponuje si─Ö logiki wy┼╝szych rz─Öd├│w (LWR), drugiego, trzeciego itd. (r├│┼╝nica pomi─Ödzy LE a LWR polega na tym, ┼╝e, o ile kwantyfikatory w logice elementarnej wi─ů┼╝─ů tylko zmienne indywiduowe, to w logikach wy┼╝szych rz─Öd├│w operuj─ů tak┼╝e na zmiennych predykatowych), w kt├│rych mo┼╝na okre┼Ťla─ç bardziej skomplikowane poj─Öcia w szczeg├│lno┼Ťci matematyczne. S─ů one cz─Östo okre┼Ťlane jako logiki teorio-modelowe (logiki abstrakcyjne, rozszerzone teorie modeli; zob. om├│wienie w antologii Barwise, Feferman 1985). ┼üatwo teraz zauwa┼╝y─ç, ┼╝e wi─ů┼╝e si─Ö to z uniwersalno┼Ťci─ů w rozumieniu punktu (B), aczkolwiek stopniowaln─ů (jeszcze raz zauwa┼╝am, ┼╝e nie w sensie ilo┼Ťciowym). Jasne, ┼╝e tautologiczno┼Ť─ç w sensie (D4) nie ma tutaj wi─Ökszego znaczenia, a nawet stanowi ewidentn─ů przeszkod─Ö, skoro zdania tautologiczne s─ů tre┼Ťciowo puste czy bardzo ubogie, by nie przes─ůdza─ç tej sk─ůdin─ůd spornej kwestii.

10. Logika jako narz─Ödzie definiowania poj─Ö─ç. Uniwersalno┼Ť─ç w sensie (B) wi─ů┼╝e si─Ö z rozumieniem logiki jako characteristica universalis, a nie jako calculus ratiocinator. Rozmaite projekty tzw. wielkich logik (logica magna; Frege, Russell, Le┼Ťniewski) by┼éy projektowane jako silne pod wzgl─Ödem wyrazu systemy, w kt├│rych mo┼╝na zawrze─ç ca┼é─ů nauk─Ö, a przynajmniej matematyk─Ö. Intuicja zwi─ůzana z logik─ů jako characteristica universalis jest taka oto:

“[…] logika sk┼éada si─Ö z kolekcji struktur matematycznych, kolekcji wyra┼╝e┼ä formalnych oraz relacji spe┼éniania wi─ů┼╝─ůcej wyra┼╝enia ze strukturami […]. Mo┼╝na powiedzie─ç, ┼╝e logik─Ö si─Ö konstruuje dla badania logiki jakiej┼Ť cz─Ö┼Ťci matematyki” (Barwise 1985, pp. 4-5).

Wedle tego pogl─ůdu logika dostarcza ┼Ťrodk├│w dla mo┼╝liwych opis├│w struktur matematycznych. Oczywi┼Ťcie jest tak, ┼╝e dobra logika musi mie─ç du┼╝─ů si┼é─Ö wyrazu, aby da┼éo si─Ö w niej zawrze─ç tak wiele tre┼Ťci, jak to jest mo┼╝liwe. Formalnie rzecz bior─ůc logika wedle tego rozumienia jest par─ů <L,╞>, gdzie symbol╞ oznacza relacj─Ö spe┼éniania (por. Westerståhl 1976, s. 16). Wa┼╝ne s─ů tutaj nie tyle inferencje, ale zbiory zda┼ä prawdziwych w zadanych modelach, zda┼ä wyra┼╝onych w stosownie bogatych j─Özykach. Modyfikacja poj─Öcia logiki stanie si─Ö ja┼Ťniejsza, gdy uzmys┼éowimy sobie, ┼╝e logika jest niejako wbudowana w j─Özyk via relacja╞. Mo┼╝na te┼╝ rozwa┼╝y─ç par─Ö <L, ├>. Je┼╝eli pary <L,╞> i <L, ├> wzajemnie koincyduj─ů, logika jest pe┼éna, ale nie jest to w ┼╝adnym sensie zwi─ůzane z uniwersalno┼Ťci─ů. Co wi─Öcej, bogate logiki w tym nowym sensie, w szczeg├│lno┼Ťci, LWR s─ů niepe┼éne, tj. maj─ů prawdy, kt├│re nie daj─ů si─Ö w nich udowodni─ç. To wystarcza do okazania, ┼╝e uniwersalno┼Ť─ç w sensie (B) nie koresponduje z pozosta┼éymi. Podobne uwagi stosuj─ů si─Ö do modalnych rozszerze┼ä LE, tj. system├│w formalizuj─ůcych modalno┼Ťci aletyczne (konieczno┼Ť─ç, mo┼╝liwo┼Ť─ç), deontyczne (obowi─ůzek, zezwolenie), epistemicznych (wiedza) itd. Poj─Öcia modalne s─ů istotne dla filozofii, ale niedefiniowalne w LE. Mo┼╝na zatem przypuszcza─ç, ┼╝e ich uniwersalno┼Ť─ç w sensie (B) nie koresponduje z pozosta┼éymi rozumieniami tej w┼éasno┼Ťci. Tak te┼╝ jest istotnie. Si┼éa wyrazu logiki modalnej zale┼╝y od w┼éasno┼Ťci relacji dost─Öpno┼Ťci (zob. ┼Üwirydowicz 2004). Wy┼╝ej rozwa┼╝a┼éem przypadek powinno┼Ťci logicznej jako wyj─ůtek od tezy Hume’a. Zachodzi ona (w postaci, ┼╝e OA nie implikuje A) zawsze, gdy relacja ta nie jest zwrotna. Jasne jest teraz, ┼╝e dana logika modalna mo┼╝e by─ç pe┼éna nie w klasie wszystkich modeli, ale tylko tych, kt├│re spe┼éniaj─ů koresponduj─ůce warunki na┼éo┼╝one na relacj─Ö dost─Öpno┼Ťci. W tym sensie nie s─ů uniwersalne, je┼Ťli przez to rozumie─ç prawdziwo┼Ť─ç w ka┼╝dym modelu. Ta przys┼éuguje tylko twierdzeniom LE.

11. Jeszcze raz o definicji logiki. Jak wi─Öc definiowa─ç logik─Ö? Wydaje si─Ö ┼╝adna definicja nie mo┼╝e zado┼Ť─çuczyni─ç uniwersalno┼Ťci we wszystkich sensach i podw├│jnej funkcji logiki, tj. jako generatora poprawnych inferencji i narz─Ödzia analizy poj─Ö─ç. Rozwa┼╝my

(*) LOG’ = <L,├,╞>

jako zebranie rozmaitych intuicji w jeden schemat. Dla zachowania uniwersalno┼Ťci w sensie (A), (C) i (D) potrzeba zachodzenia (TP), tj. koincydencji relacji├ i╞. Wprawdzie (TP) trzeba przeformu┼éowa─ç do postaci ( znak MX oznacza model zbioru X; X ├Ź L)

(TP’) A ├Ä CnX wtw dla ka┼╝dego modelu MX, A jest prawd─ů w MX (r├│wnowa┼╝nie:
XA wtw MX A),

ale je┼Ťli X = Æ, wracamy do czystej LE, a je┼Ťli X ¹ Æ, to uniwersalno┼Ť─ç LOG’ jest obci─Öta do konsekwencji zbioru X i klasy jego modeli, aczkolwiek sam aparat dedukcyjny logiki okre┼Ťlonej przez (*) pokrywa si─Ö z LE; trzeba jednak zauwa┼╝y─ç, ┼╝e przy LOG = CnÆ, regu┼éy logiki zachowuj─ů tautologiczno┼Ť─ç, natomiast przy pos┼éu┼╝eniu si─Ö relacj─ů XA, tylko prawdziwo┼Ť─ç, o ile X ¹ Æ. Ka┼╝da teoria elementarna (pierwszego rz─Ödu) jest pe┼éna w sensie (TP’), co znacznie ogranicza jej si┼é─Ö wyrazu, a to prowadzi do niewielkiej wydajno┼Ťci jako narz─Ödzia analizy poj─Ö─ç. Natomiast je┼Ťli nie wymagamy, by (TP’) zachodzi┼éo, pe┼éna koincydencja relacji ├ i╞ nie ma miejsca, sprawno┼Ť─ç analityczna logiki wzrasta, ale ograniczona zostaje jej uniwersalno┼Ť─ç w sensie (A), (C) i (D). W przypadku logik modalnych, rzeczona koincydencja jest okupiona wprowadzeniem pozalogicznych warunk├│w wzgl─Ödem relacji dost─Öpno┼Ťci. W gruncie rzeczy, schemat (*) bez (TP’) i tak rozwarstwia si─Ö na <L, ├> i <L,╞>.Tak jest np. w LWR, gdzie (TP’) zachodzi, ale za cen─Ö stratyfikacji modeli na pewne grupy, np. na wyr├│┼╝nieniu tzw. modeli og├│lnych, ale w oparciu o kryteria pozalogiczne.

12. Konkluzje i uwagi ko┼äcowe. Nie ma jednak ┼╝adnego powodu do dramatyzowania z powodu tej sytuacji. Jest w ko┼äcu spraw─ů konwencji, uzale┼╝nionej od takich czy innych, intuicji, jak logika powinna by─ç zdefiniowana. Mo┼╝na np. zastanawia─ç si─Ö, czy nie ograniczy─ç si─Ö do LE bez identyczno┼Ťci lub nawet poj─Ö─ç, ┼╝e logik─ů w sensie w┼éa┼Ťciwym jest wy┼é─ůcznie rachunek zda┼ä z uwagi na jego bardzo silne w┼éasno┼Ťci jak Post-zupe┼éno┼Ť─ç i rozstrzygalno┼Ť─ç. Przy ka┼╝dym rozumieniu logiki (oczywi┼Ťcie „ka┼╝dym” musi bra─ç pod uwag─Ö tradycj─Ö), tworz─ů j─ů systemy formalne budowane wedle pewnego wzorca, tj. z wyra┼║nie wyspecyfikowanym j─Özykiem, aksjomatami i regu┼éami inferencji. Tylko LE jest wyposa┼╝ona w kompletny katalog niezawodnych regu┼é wnioskowania, natomiast LWR tego nie gwarantuje w ca┼éej rozci─ůg┼éo┼Ťci. Niemniej jednak, ┼╝adna logika, nawet LE, nie zapewnia jednoznacznych kryteri├│w poprawno┼Ťci analizy poj─Öciowej. Matematycy maj─ů w tym wzgl─Ödzie pewn─ů ustalon─ů tradycj─Ö, kt├│ra sprawia, ┼╝e r├│┼╝nice w sposobach analizy s─ů stosunkowo niewielkie, a pozamatematyczne dewiacje odrzucane. Niemniej jednak, i tutaj pojawiaj─ů si─Ö r├│┼╝nice w rezultatach. Klasycznymi i wielkimi przyk┼éadami analiz poj─Öciowych w matematyce s─ů Fregego konstrukcja liczb naturalnych, Hilberta rozumienie dowodu matematycznego czy eksplikacja intuicyjnego poj─Öcia obliczalno┼Ťci przy pomocy maszynerii teorii funkcji rekurencyjnych, ale ich akceptacja zale┼╝y od og├│lnego punktu widzenia, np. konstruktywi┼Ťci uwa┼╝aj─ů, ┼╝e poj─Öcie liczby naturalnej jest pierwotne. Sytuacja w filozofii jest znacznie bardziej skomplikowana, poniewa┼╝ nie ma w niej jednomy┼Ťlno┼Ťci w sprawie sensu poj─Ö─ç i sposobu ich eksplikacji, a tak┼╝e ma miejsce du┼╝y udzia┼é intuicji wyk┼éadanych hermeneutycznie jest znaczny. Logika na pewno dostarcza ka┼╝demu skutecznych sposob├│w inferencji dedukcyjnej, ale trudno zgodzi─ç si─Ö z Quinem, ┼╝e logika jako <L,╞> obs┼éuguje wszystkich jednakowo. Niemniej jednak, na obron─Ö analizy filozoficznej ┼Ťrodkami formalnymi (one kszta┼étuj─ů to, co obecnie nazywa si─Ö logik─ů filozoficzn─ů) mo┼╝na powiedzie─ç, ┼╝e je┼Ťli ju┼╝ uzna┼éo si─Ö, ┼╝e jaki┼Ť dobrze okre┼Ťlony system logiki zosta┼é obrany jako wystarczaj─ůco silny ekspresywnie, to przynajmniej w jego ramach mo┼╝na racjonalnie spiera─ç si─Ö w kwestiach merytorycznych. Dotyczy to np. analizy poznania potocznego czy nawet naukowego, kt├│re u┼╝ytkuje argumentacje niemonotoniczne, tj. takie, w kt├│rych dodanie nowych przes┼éanek nie gwarantuje zachowania wcze┼Ťniej uzyskanych wniosk├│w. Nawet je┼Ťli przeciwnik analizy logicznej o┼Ťwiadczy, ┼╝e nic nie zast─Öpuje wgl─ůdu w istot─Ö rzeczy, zw┼éaszcza transcendentalnego, mo┼╝na na to odpowiedzie─ç, ┼╝e w filozofii nigdy za du┼╝o okazywania, co z czego wynika w najzwyczajniejszym sensie dedukcyjnym.




BIBLIOGRAFIA


┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Barwise J. 1985, “Model-Theoretic Logics: Background and Aims”, w: Barwise, Feferman 1985, s. 3-23.

            Barwise J. , Feferman S. eds. 1985, Model-Theoretic Logics, Springer, Berlin.

            Borkowski L. 1969, Logika formalna. Systemy logiczne. Wstęp do metalogiki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Borkowski L. 1981, “Charakterystyka kwantyfikator├│w w aksjomatycznej teorii konsekwencji”, Roczniki Filozoficzne 29(1), s. 5-7; przedruk, w: L. Borkowski, Studia Logiczne. Wyb├│r, Towarzystwo Naukowe KUL, Lublin 1990, s. 466-468.

            Church A. 1956, Introduction to Mathematical Logic, Princeton, Princeton University Press.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Ebbesen S. 1980, “Logica docens/logica utens”, w: Ritter, Gr├╝nder 1980, s. 353-355.

            Enderton H. 1972, A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, New York.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á G├Âdel K. 1944, “Russell’s Mathematical Logic”, w: The Philosophy of Bertrand Russell, ed. By P. Schillpp, Open Court, La Salle, s. 125-153.

            Grzegorczyk A. 1973, Zarys logiki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

            Hilbert D., Ackermann W. 1928, Grundzüge der mathematischen Logik, Verlag von Julius Springer, Berlin.

            Hinman P. G. 2005, Fundamentals of Mathematical Logic, A. K. Peters, Wellesley, Massachussetts.

            Kneebone G. T. 1963, Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics, Van Nostrand, London.

            Mendelson E. 1964, Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand, New York.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Pogorzelski W. 1992, Elementarny s┼éownik logiki formalnej, Uniwersytet Warszawski – Filia w Bia┼éymstoku, Bia┼éystok.

            Mostowski A. 1948, Logika matematyczna. Kurs Uniwersytecki, Monografie Matematyczne, Warszawa-Wrocław.

            Quine W. v. O. 1970, Philosophy of Logic, Prentice Hall, Englewood Clifts; tłum. polskie (H. Mortiner), Filozofia logiki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Risse W. 1980, “Logik”, in Ritter and Gr├╝nder 1980, s. 357-362.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Ritter J. and Gr├╝nder K. eds. 1980, Historischer W├Ârterbuch der Philosophie, v. 5, Schwabe, Basel.

            Rosser J. B. 1953, Logic for Mathematicians, McGraw Hill, New York.
Russell B. 1903, The Principles of Mathematics, Georg Allen and Unwin, London.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Ryle G. 1954 “Formal and Informal Logic”, in Dillemmas, Cambridge University Press, Cambridge, s. 111-129; t┼éum. polskie (A. Sierszulska), “Logika formalna i nieformalna”, w Wole┼äski 1997, s. 79-95.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Surma S. J. 1981, “The Growth of Logic out of the Foundational Research in the Foundations of Mathematics”, in Modern Logic, ed. by E. Agazzi, Reidel, Dordrecht 1981, s. 15-33.

            Świrydowicz K. 2004, Podstawy logiki modalnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Tarski A. 1930, “├ťber einige fundamentale Begriffe der Metamathematik”, Comptes Rendus des s├ęances de la Soci├ęt├ę des Sciences et de Lettres de Varsovie 23, s. 22-39 ; t┼éum. polskie (J. Zygmunt), “Podstawowe poj─Öcia metodologii nauk dedukcyjnych », w : A. Tarski, Pisma logiczno-filozoficzne, t. 2 : Metalogika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001, s. 31-92.

            Tarski A. 1941, Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Clarendon Press, Oxford; tłum. Polskie (M. Sujczyńska), Wprowadzenie do logiki i do metodologii nauk dedukcyjnych, Philomath, Białystok 1994.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Van Heijenoort J. 1985, “Logic as Calculus and Logic as Language”, in J. Van Heijenoort, Selected essays, Bibliopolis 1985, p. 11-16; t┼éum. polskie (C. Cie┼Ťli┼äski), “J─Özyk jako rachunek i logika jako j─Özyk”, w: Wole┼äski 1997, s. 71-79.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Westerståhl D. 1976, Some Philosophical Aspects of Abstract Model Theory, Institutionen f├Âr Filosofi, G├Âteborgs Universitet, G├Âteborg.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Wole┼äski J. (red.) 1997, Filozofia logiki, Wydawnictwo SPACJA – Fundacja Aletheia, Warszawa.

┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á┬á Wole┼äski J. 2004, “First-Order Logic: (Philosophical) Pro and Contra”, w: V. Hendricks, F. Neuhaus, S. A. Pedersen, U. Scheffler and H. Wansing (eds.), Firsr-Order Logic Revisited, logos, Berlin, s. 369-398.

cz─Ö┼Ť─ç 1.



tekst zamieszczono 3 stycznia 2007 roku
  1. Normatywno┼Ť─ç logiki
  2. Komentarze do metalogicznej definicji logiki: problem logik alternatywnych
  3. Komentarze do metalogicznej definicji logiki: teza pierwszego rz─Ödu
  4. Logika jako narz─Ödzie definiowania poj─Ö─ç
  5. Jeszcze raz o definicji logiki
  6. Konkluzje i uwagi końcowe
powr├│t
 
webmaster © jotka